相加・相乗・調和平均の図形的考察
図Ⅰについて簡単に述べる。
AC = \(a\) ，BC = \(b\) で，AB を直径とする半円Oを描く。BD，AE，OF および CP は AB に垂直で，BD = \(b\)，AD = \(a\) である。
I は DE と CP の交点，CH は C から OP に引いた垂線である。
\begin{align}
\dfrac{a+b}{2}，\quad \sqrt{ab}，\quad \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \ \left( = \dfrac{2ab}{a+b} \ \right) \nonumber\\
\end{align}
を \(a，b\) の相加（算術）平均，相乗（幾何）平均，調和平均という。
これらの値を長さにもつ線分は，図Ⅰにおいてどれであるかを求めてみよう。
円の半径 OA，OB，OF，OP が相加平均 \( \dfrac{a+b}{2} \) であることがわかる。∵ 直径の半分だから
図より，OP = \( \dfrac{a+b}{2} \)，OC = \( \left| \ a - \dfrac{a+b}{2} \right| = \left| \dfrac{a-b}{2} \right| \) だから
三平方の定理より，
\( \mathrm{PC}^2 = \mathrm{OP}^2 - \mathrm{OC}^2 = \left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2 - \left| \dfrac{a-b}{2} \right|^2 = ab \)
∴ PC = \( \sqrt{ab} \)
補助線 BE を引き，CP との交点を J とする。このとき，\( \mathrm{AE} /\!/ \mathrm{CP} /\!/ \mathrm{BD} \) より，平行線と比の関係から
CI = CJ + JI = \( \dfrac{b}{a+b} \times a + \dfrac{a}{a+b} \times b = \dfrac{2ab}{a+b} \)
また，△OCPにおいて， OC = \( \left| \dfrac{a-b}{2} \right| \) より
PH = CP \( \cos \angle \mathrm{CPO} = \mathrm{CP} \times \dfrac{ \mathrm{CP} }{ \mathrm{ OP } }
= \dfrac{ \mathrm{CP^2} }{ \mathrm{OP} } = \dfrac{ab}{\dfrac{a+b}{2}} \)
以上から，\(a, b\) の相加平均は OA = OB = OF = OP，相乗平均は CP，調和平均は CI = PH である。
この図から，相加平均（OP），相乗平均（PC），調和平均（PH = CI）の大小関係が一目でわかる。
厳密には，I が線分 CP 上にあるかどうかを調べなければいけないと思われるが， PH \( \leqq \) PC であることは図から明らかであろう。
また，相似より OP : PC = PC : PH であることがわかるから，2個の平均について，以下の関係について図を利用した方が気付けるであろう。
(相加平均) : (相乗平均) = (相乗平均) : (調和平均)
